常用地图投影之圆锥投影双标准纬线等角正

基本观点

定义

假想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。

分类

按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :

正轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相同等；

横轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的长轴相同等；

斜轴圆锥投影

圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合， 也不与它的长轴相重合。

按变形性子分

等角圆锥投影

正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。

等面积圆锥投影

正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。

任意投影

特例是等间隔投影。

正轴圆锥的基本公式

极坐标公式为：

\[\rho=f(\phi)\]

\[\delta=\alpha \cdot \lambda\]

此中\(\delta\)表现两条经线夹角在平面上的投影。

\(\alpha\)表现\(\delta\)与\(\lambda\)的比值，小于1

\(\lambda\)表现地球椭球体上两经线的夹角。

直角坐标公式为:

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

此中\(\rho_{s}\)表现制图地区最低纬线的投影半径

在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。

正等角圆锥投影

基本公式：

根据等角条件 a=b或 m=n，得：

\[d\rho/(M d\phi)=\alpha \rho/r\]

\[d\rho/\rho=\alpha M d\phi/(Ncos\phi)\]

将M，N 公式带入上式，并取积分可得：

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

K,\(\alpha\)称为投影常数

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

当\(\phi=0^{0}\)时，K=\(\rho\)，故 K的几何意义是赤道的投影半径

正等角圆锥投影的一样平常公式如下：

\[\delta=\alpha\cdot\lambda\]

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

\[e=((a^{2}-b^{2})/a^{2})^{1/2}\]

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

\[m=n=\alpha \rho/r=\alpha K/(rU^{\alpha})\]

\[p=m^{2}=n^{2}=(\alpha K/(rU^{\alpha}))^{2}\]

\[\omega=0\]

投影常数\(\alpha\),K的确定方法

1. 单尺度纬线正等角圆锥投影:指定制图地区中某一条纬线无长度变形。
2. 双尺度纬线正等角圆锥投影:指定制图地区中两条纬线无长度变形。
3. 定域等面积正等角圆锥投影:使制图地区各部分面积变形的总和为零，即制图地区总面积和原来的大小保持稳定。

下图分别对应上述123

双尺度纬线正等角圆锥投影

经纬线的表象：其经线体现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称为尺度纬线（\(\phi_{1},\phi_{2}\))。

尺度纬线的位置：

\[\phi_{1}\approx\phi_{s}+35^{'}\]

\[\phi_{2}\approx\phi_{N}-35^{'}\]

\(\phi_{s}\):制图地区最南方的纬度

\(\phi_{N}\):制图地区最北边的纬度

双尺度纬线正等角圆锥投影投影公式

\[\alpha=(lgr_{2}-lgr_{1})/(lgU_{1}-lgU_{2})\]

\[K=(r_{1}U_{1}^{\alpha})/\alpha=(r_{2}U_{2}^{\alpha})/\alpha\]

此中：
\[U_{1}=tg(45^{0}+\phi_{1}/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi_{1}=esin\psi_{1}\]

其他的公式同前。

投影变形分析

1. 角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;
2. 两条尺度纬线上没有任何变形;
3. 等变形线和纬线同等,同一条纬线上的变形到处相称；
4. 在同一经线上,两尺度纬线外侧为正变形(长度比>1)，而两尺度纬线之
5. 为负变形(长度比<1),因此变形较匀称,绝对值也较小;
6. 同一纬线上等经差的线段长度相称,两条纬线间的经线线段长度到处相称。

我国的1:100万地图接纳该投影,为了进步精度,1:100万地图的投影按百万之一地图的纬度分别原则—从赤道00开始，纬差40一幅，从南向北共分成15个投影带，每个投影带单独盘算，创建数学底子。由于接纳分带投影，每带纬度较小，我国范畴内的1：100万地图变形值大概相称，其长度变形最大不超越0.03%,面积变形约为长度变形的2倍。

圆锥投影的变形分析及应用

在切圆锥投影中，尺度纬线\(\phi_{0}\)处的长度比\(n_{0}=1\),别的纬线长度比均大于1，并向南、北方向增长；

在割圆锥投影中，尺度纬线\(\phi_{1} \phi_{2}\)处长度比\(n_{1}=n_{2}=1\)，变形自尺度纬线\(\phi_{1} \phi_{2}\)向内和向外增大，在\(\phi_{1}\)和\(\phi_{2}\)之间n<1,在\(\phi_{1}\)和\(\phi_{2}\)以外n>1。

从变形特点，可得出结论：
圆锥投影最实用于中纬度处沿纬线舒展的制图地区。

(一)地图投影选择

除国度基本比例尺地形图外，其他种类地图需根据用途、制图地区位置、大小和外形等因素，选择合适的投影。 通常根据以下条件确定投影的选择：

(1)制图地区位置。极地四周宜选正轴方位投影;中纬度地域宜选圆锥投影。我国1：100万地形图接纳双尺度纬线正轴等角圆锥投影;

(2)制图地区外形。靠近圆形表面的地区宜选择方位投影(如中华人民共和国全图用斜轴等面积方位投影);

(3)工具延伸的地区。在赤道四周用正轴圆柱投影，在中纬度地域用圆锥投影，南北延伸地域多选用横轴圆柱投影;

(4)要求面积对比准确的。常选用等面积投影;

(5)要求方位准确的(如地形图、航空图、航海图)。常选用等角投影;

(6)要求间隔较准确的(如交通图)。常选用任意投影中的等间隔投影;

(7)一样平常参考图和中小学讲解用图。常选用任意投影;

(8)已成固定模式的。海洋地图都用墨卡托(正轴等角圆柱)投影，各国的地形图都用等角横切(割)圆柱投影;我国地形图用的是等角横切椭圆柱投影(高斯一克吕格投影);

(9)我国分省(区)地图常用投影：正轴等角割圆锥投影(须要时也可接纳等面积和等间隔圆锥投影)，或宽带高斯一克吕格投影(经差可达9°);我国的南海海疆单独成图时，可接纳正轴圆柱投影。

(二)坐标网的选择

1.种类

地形图上的坐标网大多选用双重网的情势。大比例尺地形图多以直角坐标网为主，地理坐标网为辅(绘于内、外图廓之间);中小比例尺地形图及地理图则只选地理坐标网;不求几何精度(如旅游地图)或大比例尺的都市图(由于保密缘故)通常不表现任何坐标网。

2.定位

定位指确定坐标网在图纸上的相对位置。定位的依据是确定地图投影的尺度线、图幅的中央经线和地图的定向。图幅的中央经线应是靠近图幅中间位置的整数位的经线，它应位于图纸的中间，别的的经纬线网格以它为对称轴分列两侧。本地图用北方定向时，只需要将中央经线朝向正上方(垂直于南北图廓)，用斜方位定向时，根据需要将中央经线旋转一个角度。

3.密度

密度即网格大小，坐标网的密度应适中。密度太小，影响量测精度;密度太大，会滋扰其他地图内容的阅读。

4.体现情势

坐标网的体现情势有粗细线、阴阳线、实虚线之分。

(三)地图比例尺计划

地图上标明的比例尺是指投影中尺度线上的比例尺(即地图主比例尺)。

1.选择比例尺的条件

取决于制图地区大小、图纸规格、地图需要的精度等。

2.选择地图比例尺的套框法

在计划地图(集、册)时，图纸规格是固定的，在这个固定的图面上，各制图单位(比方省或县)要选用什么比例尺，最合适用套框法确定。

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§3.2 空间数据的地理参照系和控制底子

5、正等角圆锥投影

这种投影，是假想圆锥轴和地球椭球体旋转轴重归并套在椭球体上，圆锥面与地球椭球面相割，将经纬网投影于圆锥面上睁开而成。其经线体现为辐射的直线束，纬线投影成同心圆弧(图3—5)。

圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称之为尺度纬线(φ1，φ2)。接纳双尺度纬线的相割比接纳单尺度纬线的相切，其投影变形小而匀称。 投影变形的分布规律是：

(1)角度没有变形，即投影前后对应的微分面保持图形相似，故亦可称为正形投影；

(2)等变形线和纬线同等，同一条纬线上的变形到处相称；

(3)两条尺度纬线上没有任何变形；