关系与等价关系（自反性作业部落CmdMarkdown编辑阅读器-千元投影仪评测

关系：

先来刷一大堆定义。。

$\left\{ （x,y)| x\in X, y\in Y \right\}$ 称为聚集X与聚集Y的 笛卡尔积 ，记作X $\times$ Y，读作X叉乘Y。此中（x,y) 是一个 有序偶 。
有序偶 ：单点集A （条件一 )和≤两个元素构成的 (条件二） 聚集B，构成集族 $\left\{ A,B \right\}$ , 假如满意 $A\subset B$ （条件三） ，则成为一个有序偶，记作（x,y)，此中：

x为满意 $X\cap Y$ 的惟一元素，y为满意 $X\cup Y$ 的惟一元素。

留意： $X\times Y\ne Y\times X$

3. 假如聚集 $R\subset X\times Y$ ,则称R是从X到Y的一个关系（two simple examples of R： $X\times Y$ 和空集）， R是有序偶的聚集。

假如 $(x,y)\in R$ ,则称x与y是 R-相关 的，记作xRy。
假如 $A\subset X，$ 则Y的子集 $\left\{ y\in Y| \exists x\in A 使得xRy \right\}$ 称为 聚集A的R-像 ，记作R(A)。
R（X）成为关系R的值域。

4. 对于3.中的关系xRy， $Y\times X$ 的子集 $\left\{ (y,x)\in Y \times X| xRy \right\}$ 成为 关系R的逆 ，记作

$R^{-1}$ .

假如 $B\in Y$ ,那么x的子集是聚集B的 $R^{-1}$ 像，或称为： R-原像 。
$R^{-1}$ （Y）也称为关系R的定义域。

5.对于 $R\subset X\times Y, S \subset Y \times Z$ ,设 $\left\{ (x,z) \in X\times Z| \exists y\in Y使得xRy且ySz \right\}$ 是 $X\times Z$ 的一个子集，称其为R与S的复合或积。

6. $\left\{ (x_{1},x_{2},...,x_{n})| x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2},...,x_{n}\in X_{n} \right\}$ 称为 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 的笛卡尔积，此中 $（x_{1},x_{2},...,x_{n}）$ 称为 有序n元素组 ， $X_{i}$ 称为笛卡尔积的第i个 坐标集 。

定理一： 设：xRy，ySz，zTv，则 $\forall$ :

$\left( R^{-1} \right)^{-1}=R$

$(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}$

$T\circ(S\circ R)=(T\circ S)\circ R$

定理二： 设xRy， ySz，则 $\exists A\subset X, B\subset X, \forall$

$R(A\cup B)=R(A)\cup R(B)$

$R(A\cap B)\subset R(A) \cap R(B)$

$(S\circ R)(A)=S(R(A))$

(这两条定理的证实比较显然就不写啦...根据定义把LHS和RHS分别演算一下然后相称就行了）

等价关系：

恒同（关系）/对角线： 从聚集X到聚集X的一个关系： $\left\{ （x,x)|x\in X \right\}$

满意（1） 自反性 ，（2） 对称性 与（3） 通报性 ，是X中的一个 等价关系 。

#这个也是等价关系的定义。

嗯...关于这三条性子先瞎xx讲讲故事8.

定义等价关系，首先要明白的是自反性。不然你想象一下，你看山不是山，看水不是水。名可名，非常名（划掉）那还van个球啊。再比方说对应到群的性子中就是幺元的观点。

然后我们要确定对称性，emm比方说：A满意是B的同桌的性子，则反过来B也必须是A的同桌。这一条可以对应群内里的逆元的观点。

最后再说通报性，拿室友举个例子:假如A是B的室友，B是C的室友，则A一定也是C的室友，那么'室友'这一性子就满意了通报性。但是'A嘻歡B，B嘻歡C'就不是一个具有通报性的性子....不然画面着实太哲♂学。。（迫真もうそんなんじゃホラ，心(こころ)は进化(しんか)するよもっともっと...)这个可以对应群论内里的联合律。

如今给出这些性子的正义化定义 [1] ：

自反性：

在全集U中全部子集的聚集中，包含关系是自反的，相称关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的，整数聚集Z中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。

反自反性：

由定义说明中可知真包含关系是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系是反自反的，而≤不是反自反的。

存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。

对称性：

该定义表明了，在表现对称的关系R的有序对聚集中，如有有序对<x,y>，则肯定还会有有序对<y,x>。

在全集U的全部子集的聚集中，相称关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数聚集Z中，相称关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。

阻挡称性：

该定义表明了，在表现阻挡称关系R的有序对聚集中，若存在有序对<x,y>和<y,x>，则肯定是x=y。留意，若R中对u<x,y>到处不出现<y,x>,则仍满意阻挡称性（比方说＜）

在全集U的全部子集的聚集中，相称关系=，包含关系和真包含关系都是阻挡称的，但全域关系不是阻挡称的．在整数聚集Z中，=，≤和<也都是阻挡称的。

通报性：

该定义表明了，在表现可通报关系R的有序对聚集中，如有有序对<x,y>和<y,z>，则必有有序对<x,z>。

显然，上述提到的关系中包含，真包含，≤，<，=都是通报的，在直线的聚集中，平行关系是通报的，但垂直关系不是通报的。

（为了加深明白，可以列出一个聚集，对于此中一些运算验证以上性子的定义）

PS：在有正常的直觉的底子上，万万不必到处套用正义化定义判定orz

设R是聚集X中的一个等价关系，对 $x\in X, y\in X$ ，假如xRy，则称 x与y是（R-）等价的 。

等价类： X的子集 $\left\{ y\in X|yRx \right\}$ ,记作 $\left[ X \right]_{R}$ 或 $\left[ X \right]$ 。

商集： $\left\{ \left[ X \right]_{R}| x\in X \right\}$ 称为聚集X对于等价关系R而言的商集，记作X/R。

定理一 （等价关系是把非空聚集分别成两两互不相交的等价类的分类原则）：

设R黑白空聚集X中的一个等价关系，则：

假如 $x\in X$ ，则 $x\in \left[ X \right]_{R}$ ,因而 $\left[ X \right]_{R}$ 不为空。（证：由x有自反性可得）
$\exists x,y\in X$ ,则要么 $\left[ X \right]_{R}=\left[ Y \right]_{R}$ ;要么 $\left[ X \right]_{R}\cap\left[ Y \right]_{R}=$ Ø（证：由等价关系的三条性子显然.)

参考

^ https://baike.baidu.com/item/关系/3785874?fr=aladdin

自反对称传递的关系是什么

@EtoDemerzel 2017-11-06T12:51:35.000000Z 字数 1664 阅读 3050

离散数学第九章关系（一）

`离散数学` `关系`

part 1. 相关观点

用两个相关元素组成的有序对来表达两个聚集元素之间的关系。由有序对构成的聚集就叫做 二元关系 。
和是聚集，一个从到的二元关系是的子集。

时，与有关系。
函数作为关系：是到的关系, 满意：中每个元素恰恰是中一个有序对的第一元素, 就可以定义一个 函数的图示 。（即对中每个元素可指定唯一的 , 使得。）

聚集上的关系是从到的关系。

part 2. 性子

关系的性子： 自反性, 对称性，阻挡称性，非对称性, 通报性 。

自反性 ：都有，那么定义在上的关系成为 自反的(reflexive) .

对称性 ：只要就有 ,则称定义在聚集上的关系为 对称的(symmetric) .

阻挡称性 ：若且一定有 ,则称定义在上的关系为 阻挡称的(antisymmetric) .

非对称性 ：若一定有 ,则称定义在聚集上的关系是 非对称的(asymmetric) .

通报性 ：对且则 ,则称定义在聚集上的关系是 通报的(transitive) .

用图来表现：

自反

对称

通报+非对称+阻挡称

自反+通报+阻挡称

2. 关系的组合：是从到的关系，是从到的关系。与的合成是由有序对组成的关系，此中，且存在，使得。用表现。
3. 自身的合成：的次幂递归定义为：
和
4. 一个定理：聚集上的关系是通报的对有 .

part 3. 表现方法

用矩阵表现关系 ：
- 自反：对于 .如下所示：
- 对称：只要 ,就有，也就意味着，只要 ,就有。
  亦即，
- 阻挡称 ：当时, 要么 (也就是说二者不能同时为）。
  时或均可。
- 非对称 ：非对称和阻挡称的区别就是主对角线上不能为 .
- 关系的合成 直接用矩阵的 布尔积 盘算即可，即：
用图的方法表现
- 有向图 ：由极点（或结点）集和边 (或弧集构成。
- 自反：图示见上。有向图每个极点都有环 (loop)。
- 对称：图示见上。有向图差别极点之间的 每一条边 都存在一条 方向相反 的边。
- 阻挡称 ：图示见上。有向图两个差别极点之间 不存在 两条方向相反的边。（大概存在一条边或没有边）
- 非对称 ：图示见上。在 阻挡称 条件的底子上，每个极点都 不能有环 。

自反关系 是在逻辑学和数学中一种特别的二元关系，这样的二元关系被称为 自反的 ，也被称为具有 自反性 。自反关系的一个例子是关于实数聚集的“即是”关系，由于每个实数都即是它自己。对称性、通报性以及自反性是定义等价关系的三个属性。

对于聚集X上的二元关系 R，若满意：取X里任一元素a，且满意对于全部a皆存在(a,a)在R聚集中，则称二元关系R是 自反的 ，或称R具有 自反性 ，或称R为 自反关系 。

特别的自反关系 [ 编辑 ]

满意通报性的自反关系称为预序关系。满意阻挡称性的预序关系称为偏序关系。满意对称性的预序关系称为等价关系。

自反关系举例：

n元素聚集之上的关系 [ 编辑 ]

一个“n”-元素聚集上，自反关系的数量是2 ^{n

²
−

n} . [1]

^ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763

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